Допустим, вероятность λ рождения особью детеныша в два раза больше вероятности μ гибели самой особи. Определить среднее значение N(t) популяции в момент времени t = 100, вычислить также вариацию var (N(t)), коэффициент вариации , найти ограничения на λ и начальное значение популяции N0, при котором коэффициент вариации при t = 100 будет меньше 0,1%.
2. В модели, учитывающей случайные изменения среды, будем предполагать, что а= . Найти соотношения между N0 и σ, при которых вероятность вымирания популяции при t = 100 будет больше 90%. (Указание: воспользоваться таблицей значений интеграла вероятностей Ф(z), приведенной, например, в [6].)

Глава 11. Оптимизационные и игровые модели

11.1. Задача об оптимальном рационе питания

Выше рассмотрены простейшие модели динамики популяций с учетом конкуренции за пищевые ресурсы и влияния негативных факторов (например, эпидемий). Эти модели можно использовать для качественного анализа роста народонаселения. Конечно, рост численности населения сильно различается по разным странам и даже в развитых странах темпы роста неодинаковы. Например, в Дании, Швеции, Германии, Австрии этот показатель колеблется около нулевого значения. В таких странах, как Италия, Польша, Канада, США, рождаемость пока еще превышает смертность. Однако в целом в большинстве развитых стран ежегодный прирост населения составляет примерно 0,6% в год, тогда как в развивающихся странах – 2% в год.
В целом происходит стремительный рост населения на планете, что ставит насущную жизненную проблему управления природными ресурсами. При этом все отрасли управления ресурсами объединяет одна наука – экология и одна общая проблема – проблема оптимизации и, наконец, необходимость использовать одни и те же методы – взятие выборок, статистический анализ, математический анализ, логические процедуры, связанные с исследованием операций и анализом систем, применение вычислительной техники. Конечно, анализ и решение такой проблемы и даже какой-либо ее части представляет собой труднейшую задачу [30].
Начнем с рассмотрения простейшей задачи об оптимальном рационе, математическая модель которой допускает наглядную геометрическую интерпретацию. Пусть имеется п продуктов питания (хлеб, мясо, молоко, картофель и т.д.) и т полезных веществ (жиры, белки, углеводы и т.п.). Обозначим через aij – содержание i-го вещества в единице j-го продукта, через bi, – потребность индивидуума в i-м веществе (скажем, в месяц) и через cj, – цену единицы j -го продукта.
Обозначив потребление индивидуумом j-го продукта через хi, получаем задачу о выборе наиболее дешевого рациона питания (стоимости месячной продовольственной потребительской корзины):




(11.1)
при ограничениях




(11.2)
и


(11.3)
Такая задача называется задачей линейного программирования (в стандартной форме), общая теория которой рассмотрена, например, в [2].
Прежде чем исследовать задачу (11.1)–(11.3), заметим, что ее можно представить как задачу минимизации целевой функции f(x) = . на множестве точек (x1,...,xn), удовлетворяющих условиям (11.2) и (11.3). Такое множество называется полиэдром и обозначается Р. Итак, мы имеем экстремальную задачу
f(х) → min, х  Р .



(11.4)
Выясним, что представляет собой данный полиэдр Р на плоскости x1Ox2 в случае двух продуктов x1 и x2. Из неравенств (11.3) вытекает, что Р расположен в первом квадранте, а каждое неравенство (11.2) геометрически определяет множество точек, лежащих по одну сторону от прямой (рис. 11.1), т. е. полиэдр Р представляет собой неограниченное множество в первом квадранте, лежащее вне области, ограниченной многоугольником OABCDEF.

Для удобства введем линии уровня целевой функции, т. е. линии, на которых в плоскости х1Oх2 целевая функция
f(х)=с1x1+с2x2



(11.5)
принимает постоянное значение, например, , и обозначим ее Z. Очевидно, каждая линия уровня Z={(x1,x2):f(x)=a} является прямой; при этом gradf(x)= является вектором N, перпендикулярным линии уровня и направленным (в данном случае) в сторону увеличения . Таким образом, для нахождения оптимального решения нам следует перемещать линию уровня до касания с многоугольником OABCDE, при этом оптимальная прямая Z . коснется либо какой-то вершины (в нашем случае С), либо какого-либо ребра (например, СВ или CD при определенном изменении параметров с1 и с2).
Из приведенной геометрической интерпретации вытекает, что минимум обязательно достигается на одной из вершин многоугольника, поэтому его можно было бы найти методом перебора, сравнивая между собой значения целевой функции во всех вершинах. Конечно, метод перебора в принципе годится и в случае п переменных, однако при больших значениях п он неэффективен. Поэтому возникли и развиваются методы, позволяющие сформулировать более обозримые и эффективные критерии оптимальности. Начало им было положено работами акад. Л.В. Канторовича (1939 г.). Не углубляясь в суть этих методов, приведем пример одной многокритериальной модели.
В предыдущей задаче мы рассматривали одну целевую функцию. Однако на практике часто встречается ситуация, когда целенаправленная человеческая деятельность преследует сразу несколько целей. Такие задачи получили название многокритериальных. Методы их решения проиллюстрируем на только что рассмотренном примере составления оптимального рациона, несколько усложнив его.
Допустим, надо решить задачу об оптимальном рационе, максимизировав в нем первый продукт. Тогда наша математическая модель выглядит следующим образом:




(11.6)
Прежде чем приступить к решению, обсудим задачу, чтобы лучше понять ее специфику. Итак, забудем на время о первой целевой функции из (11.6). Тогда не составляет труда найти решение задачи:
maxf2(x)=f2(E), xP (рис. 11.2).



(11.7)
Однако значение первой целевой функции может быть значительно больше оптимального . Совершенно аналогично обстояло бы дело, если бы мы забыли о второй целевой функции и искали минимум первой целевой функции: может быть много меньше f2(Д). Приведем наиболее употребительный метод решения многокритериальных задач (в данном примере – двухкритериальной задачи), а именно сведение двух критериев к одному.
1. Для реализации этого метода необходимо «взвесить» относительную важность каждого из критериев, т. е. выбрать из внемодельных соображений число , 0 <  < 1, а затем построить одну целевую функцию




(11.8)
Если =1. то в расчет принимается только первая целевая функция, а если =0, то только вторая (рис. 11.1 и 11.2). Глубокое знание реальной проблемы и накопленный опыт могут позволить выбрать 0<<1 так, чтобы, решив оптимизационную задачу с единственной целевой функцией, можно было бы получить удовлетворительное решение для исходной постановки задачи с двумя целевыми функциями (рис. 11.3). Встретив трудности при решении двухкритериальной задачи, можно заменить ее однокритериальной, решать которую мы умеем.



11.2. Задача поиска

Более сложными, чем задачи линейного программирования, являются задачи выпуклого программирования. Прежде чем привести пример такой задачи, связанной с безопасностью жизнедеятельности, дадим некоторые определения из теории выпуклого анализа [39].
Определение 1. Множество Х из пространства Rn называется выпуклым, если из того, что две точки у и z принадлежат этому множеству, вытекает, что и весь отрезок {у,z}={хRn:х=у+(1-)z, 0  1, соединяющий эти точки, также принадлежит этому множеству.
Очевидным примером выпуклых множеств является внутренность круга, шара, эллипсоида, куба. На рис. 11.4 а, б приведены примеры невыпуклых множеств на плоскости R2.



Определение 2. Функция f(x), определенная на выпуклом множестве x Rn, называется выпуклой, если для любых двух точек у и z, принадлежащих X, и любого x[0,1] (тогда отрезок [y+(1-)z], 0  1, целиком принадлежит X) выполняется неравенство
,



(11.9)
Замечание. Если неравенство (11.9) имеет противоположный знак, то функция f(x) называется вогнутой.
Проще всего представить график выпуклой (или вогнутой) функции на плоскости (рис. 11.5).



Правая часть неравенства (11.9) представляет собой отрезок АВ, соединяющий точки (y,f(y))=АиВ=(z,f(z)), причем каждая точка этого отрезка (на рисунке взята точка С) выше соответствующей точки графика (на рисунке точка D).